Παρασκευή, 29 Φεβρουαρίου 2008

Εσύ... ποιο βιβλίο διαβάζεις τώρα?

Η oneiroparmenh με προσκάλεσε σε παιχνιδάκι!!!Πρέπει λέει να παραθέσω από τη σελίδα 123 του πρώτου βιβλίου που θα βρω μπροστά μου την 6η, την 7η και την 8η περίοδο...
Το κοντινότερο βιβλίο ήταν "Ο Γάλος Μαθηματικός" του ΤΟΜ PETSINIS, το οποίο είναι κάτι σαν τη βιογραφία ενός μεγάλου Μαθηματικού, ο οποίος έχασε τη ζωή του μόλις 21 ετών, σε μια μονομαχία, για τα μάτια της αγαπημένης του.

"Η άποτυχία μου δεν αποτελεί απαραίτητα έλλειψη ικανοτήτων: απλώς, οι εξεταστές δε μου έδωσαν την ευκαιρία να δείξω το ταλέντο μου. Την επόμενη φορά, όμως, δε θα είμαι τόσο κουμπωμένος και θα τους δείξω τι αξίζω πραγματικά. Στο μεταξύ, πρέπει να ξαναγίνω ο άνθρωπος που ήμουν χθες."

Το μπαλάκι πετάω στη Μαρούλα το Μεγάλο Μούτρο και την oneirosuneparmenh.

Τετάρτη, 20 Φεβρουαρίου 2008

Αριθμοί Τέλειοι

Ας εξετάσουμε σήμερα κάποιες κατηγορίες αριθμών, σύμφωνα με τους διαιρέτες τους -δηλαδή τους αριμούς εκείνους που τους διαιρούν ακριβώς-.
Ίσως να εκπλαγείτε λιγάκι, όταν δείτε τις ομοιότητες που έχουν αυτοί οι αριθμοί με τη καθημερινότητά μας.
Το σημερινό μας μάθημα, θα ξεκινήσει με τη διάκριση των άρτιων -ή ζυγών- αριθμών σε Ελλιπείς, Τέλειους, και Υπεράφθονους.
Ελλιπής, ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου οι διαιρέτες έχουν άθροισμα μικρότερο από τον αριθμό στον οποίο αναφερόμαστε. Παράδειγμα, ο αριθμός 8 είναι Ελλιπής, διότι οι διαιρέτες του -1,2,4- έχουν άθροισμα 1+2+4=7, δηλαδή μικρότερο του 8!
Υπεράφθονος, ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου οι διαιρέτες έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από τον αριθμό αυτό. Όπως για παράδειγμα ο αριθμός 20, διότι οι διαιρέτες του -1,2,4,5,10- έχουν άθροισμα 1+2+4+5+10=22, δηλαδή μεγαλύτερο του 20!
Τέλος, ως Τέλειοι αριθμοί, ορίζονται εκείνοι που είναι ίσοι με το άθροισμα των διαιρετών τους. Παράδειγμα τέτοιου αριθμού είναι το 6, του οποίου οι διαιρέτες -1,2,3- έχουν άθροισμα 1+2+3=6. Δηλαδή, το άθροισμα των διαιρετών του 6, είναι ίσο με 6!
Τέτοιοι αριθμοί, είναι αρκετά σπάνιοι. Φανταστείτε, πως ανάμεσα στο 1 και το 10, Τέλειος είναι μόνο ο 6. Επίσης, ανάμεσα στο 10 και το 100, τέλειος είναι μόνο ο 28, ενώ ανάμεσα στο 100 και το 1000, τέλειος είναι μόνο ο 496 και τέλος, ανάμεσα στο 1000 και το 10000, τέλειος είναι μόνο ο 8128!!! Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056 και 137.438.691.328
Γίνεται περισσότερο κατανοητή η -από αρχαιοτάτων χρόνων- ονομασία αυτών των αριθμών, αν τους "συνδέσουμε" με την καθημερινότητά μας. Η σπανιότητά τους, είναι όμοια με τη σπανιότητα της τελειότητας. Οι τέλοιοι αριθμοί λοιπον, αντιπροσώπευαν την μετριοπάθεια και την αρετή, ενώ οι άλλες δυο κατηγορίες τα ελατώμματα που είναι πολυάριθμα, ακανόνιστα και ακαθόριστα.
Παρόλο που οι Τέλειοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα, άλυτα παραμένουν μέχρι σήμερα τα ερωτήματα:
1) Υπάρχουν άπειροι Τέλειοι αριθμοί, ή κάποια μέρα μπορούμε να φτιάξουμε ένα κατάλογο με όλους τους Τέλειους αριθμούς δίχως να μας "ξεφύγει" ούτε ένας?
2) Υπάρχει έστω ένας Τέλειος περιττός -μονός- αριθμός?
2.300 χρόνια περιμένουν απάντηση τα 2 αυτά -απλά όπως φαίνονται- ερωτήματα! Πιστέψτε με, τιμή και δόξα θα αποδοθεί σε όποιον καταφέρει να δώσει μια τελική απάντηση σε ένα τουλάχιστον από τα δύο ερωτήματα.

Κυριακή, 10 Φεβρουαρίου 2008

Παράξενα "παιχνίδια" αριθμών

Προχθές, παρατήρησα ακόμα μία "περίεργη" ομορφιά των μαθηματικών.
Έκανα μάθημα σε ένα τμήμα β' γυμνασίου, και βρισκόμασταν στον υπολογισμό των ριζών. Έπρεπε να γράψουν -και να μάθουν απ'έξω φυσικά- τα τερτάγωνα των 30 πρώτων αριθμών. Για το λόγο αυτό, τους έκανα ένα πινακάκι, με τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών 1-30.
Στην προσπάθειά μου να βρω κάποιον τρόπο να θυμούνται τα τετράγωνα κάποιων αριθμών μεγαλύτερων του 10, παρατήρησα ότι:
α) Το τετράγωνο του 12 -δηλαδή το γινόμενο 12x12- ειναι 144
Ενώ το τετράγωνο του 21, είναι 441!
β)Το τετράγωνο του 13, είναι 169,
Ενώ το τετράγωνο του 31... είναι 691!
Παρατηρήστε πως αντιστρέφοντας τα ψηφία των αριθμών, αντιστρέφονται και τα ψηφία των τετραγώνων τους!!!
Προσοχή όμως, διότι αυτό δεν ισχύει ενγένει για όλους τους αριθμούς. Παράδειγμα, το τετράγωνο του 14, είναι 196, ενώ το τετράγωνο του 41 είναι 1681...

Υπάρχουν και κάποιες "τετριμένες" περιπτώσεις, όπως του 10, του 100, του 1000... του 11, του 111, του 1111, του 11111 ....... του 111111111 (9 ψηφία) και του 22.
Πράγματι, το τετράγωνο του 10, είναι 100.
Ενώ το τετράγωνο του 01=1, είναι 001=1!
Επίπλέον, το τετράγωνο του 10....0 (όσα μηδενικά ψηφία κι αν έχει) είναι 10....0 με τα διπλάσια μηδενικά ψηφία. Αν αντιστραφούν τα ψηφία αυτών των αριθμών, πάλι καταλήγουμε στο τετράγωνο του 1, που είναι το 1.

Επίσης, Το τετράγωνο του 11, είναι 121.
Ενώ το τετράγωνο του 11, είναι 121! (αν αντιστρέψουμε τα ψηφία τόσο του 11, όσο και του 121, προκύπτουν οι ίδιοι οι αριθμοί)
Το ίδιο ισχύει και για το 22, του οποίου το τετράγωνο είναι 484.
Όσο για τους αριθμούς 1, 11, 111, 1111, 11111... ισχύει κάτι ακόμα πιο όμορφο!
Το τετράγωνο του 1, είναι 1.
Το τετράγωνο του 11, όπως είπαμε είναι 121.
Το τετράγωνο του 111, είναι 12321.
Το τετράγωνο του 1111, είναι 1234321
Το τετράγωνο του 11111, είναι 123454321
Το τετράγωνο του 111111 είναι 12345654321
Το τετράγωνο του 1111111 είναι 1234567654321
Το τετράγωνο του 11111111 είναι 123456787654321
Το τετράγωνο του 111111111 είναι 12345678987654321
Υπάρχουν πολλές άλλες περιπτώσεις, όπως αυτή των αριθμών της μορφής 101, 1001, 100..01 το τετράγωνο των οποίων είναι 10201, 1002001, 100..0200..01 αντίστοιχα.
Καθώς και των αριθμών της μορφής 202, 2002, 200..02, το τετράγωνο των οποίων είναι 40804, 4008004, 400..0800..04 αντίστοιχα.
Εσείς, μπορείτε να βρείτε ανάλογα ζευγάρια τέτοιων αριθμών? Σίγουρα θα υπάρχουν αρκετά...